一致连续和连续的区别,社保累计缴纳和连续缴纳年限相比
跟我们养老金待遇有关的因素实际上只有我们的养老保险。其余的医疗保险、工伤保险、失业保险和生育保险，都不影响养老金待遇。
一致连续和连续的区别，社保累计缴纳和连续缴纳年限相比？
跟我们养老金待遇有关的因素实际上只有我们的养老保险。其余的医疗保险、工伤保险、失业保险和生育保险，都不影响养老金待遇。
依据《社会保险法》的规定，到达法定退休年龄，养老保险累计缴费满15年以上，可以按月领取基本养老金的。
因此，养老保险待遇领取的条件是以累计为主跟连续没有任何关系。
如果是连续缴费，实际上一般指的是医疗保险待遇和生育保险待遇，这两种保险都要求在住院或者生育之前有一定的连续缴费时间，但往往都不超过一年。
养老金待遇是如何跟缴费年限有关的呢？实际上，我们养老金贯彻的还是多缴多得，长缴多得的原则。目前只要我们养老金缴费产生的养老金待遇，就有基础养老金和个人账户养老金两部分构成。以前的老人还有过渡性养老金，不过主要是指当地建立个人账户之前的缴费时间或者视同缴费时间。这两种养老金待遇计算公式还是全国统一的。
基础养老金等于退休时上年度在岗职工的月平均工资×（1+本人平均缴费指数）÷2×缴费年限×1%简单点讲，如果我们按照社平100%的缴费基数，缴纳养老保险一年，基础养老金可以领取1%的退休上年度社会平均工资。如果是15年，那么就可以领取15%。
基础养老金待遇关于缴费年限的认定是累计计算，跟具体哪一年缴费没有关系，主要看当年的缴费基数是社平缴费基数的多少比例，也就是缴费指数。
连续缴费和累计缴费产生的唯一差距，在个人账户养老金。
我们只要养老保险缴费，国家就会按照缴费基数的8%花路养老金个人账户，形成个人账户余额。这个余额每年计发记账利息，2016年开始由国家统一发布。2016年是8.31%，2017年是7.12%，2018年是8.29%。不过之前有地方统一发布的时候利率比较低。
如果我们都能保证按照社会平均缴费基数缴纳社保，那么每年划入个人账户的前述也是不同的。
如果记账利率比较低，那么上一年度积累个人账户余额，和本年度积累的个人账户余额，虽然都是社平缴费基数情况下形成的余额，但是钱数并不相同。往往较早年度缴纳的个人账户余额会相对贬值很厉害。
因此，就会产生基础养老金可能相同，但是个人账户养老金不同的情况。断断续续缴费15年，不如后面连续15年缴费个人账户养老金高。
由于个人账户养老金等于退休时个人账户的余额除以个人账户计发月数。60岁是139个月，50岁是195个月。实际上，会差异非常小。
自己缴社保和企业代缴社保的差异关于自己缴社保和企业缴社保的差异问题，实际上只要当年的缴费基数相同，我们的退休待遇就完全一样，跟缴费的具体钱数是完全没有关系的。因为国家照顾灵活就业人员，让他们的缴费比例低，一般都是20%的比例，因此负担轻一些。企业个人部分（缴费基数的8%）和企业部分（缴费基数的13%到20%，5月1日可以调整为16%）加起来，是远远高于20%的。
综上所述虽然说养老保险连续缴费和累计缴费有所差距，但是差距比较小。对于当前养老金影响最大的还是缴费基数差异和缴费年限差异。如果需要较高的养老金，建议还是多缴一些年限，或者按高基数缴费才能实现。
尤其是在企业工作，由于企业和个人共同负担社保费用，由企业缴费是最合算的，自己缴纳灵活就业人员社保负担重。所以，企业有不缴社保的违法情况，一定要坚决维权。
社保是连续交满15年可以享受退休？
无论是连续交满15年，还是累计交满15年，只要达到法定年龄都可以享受退休！
第一是连续交满15年，达到法定年龄可以享受退休：所谓社保连续交满15年，就是指在你参保的缴费年度内，没有间断，一直连续交满了15年，这也是社保制度规定两条最低门槛之一，达到了最低缴费15年的标准，所以只要再达到另一个门栏符合法定年龄就可以办理退休。换句话说，达到连续缴费15年是社保享受退休待遇的两个必要条件之一，另一个就是必须达到法定年龄，满足这两个基本要件就可以退休。
第二是累计交满15年，达到法定年龄就可以退休：所谓累计交满15年，就是指在社保缴费过程中，存在因各种原因欠缴断缴的现象。这里需要告诉你的是，无论你什么原因欠缴断缴，只要你在整个参保缴费过程中，前后累计交满15年，就算达到《社会保险法》规定的两个最低门槛中的最低缴费年限。那么，社保制度规定，无论是连续缴费15年，还是累计缴费15年，只要达到15年就算满足缴费标准。如果在满足另一个最低门槛，也就是达到法定年龄，就可办理退休。
第三，视同缴费年限加实际缴费年限，达到15年也可以退休：这是因为在实际操作中，我们有一部分是在当地实行社保制度之前参加工作，而在社保制度实现之后才退休的人，那么他们的缴费年限中，就有视同缴费和实际缴费两种，他们最低缴费年限也就应该是由视同缴费和实际缴费共同组成。也就是说，他们的视同缴费年限和实际缴费年限只要加起来达到15年，就符合社保规定的最低标准，只要法定年龄达标后也同样可以办理退休。
综上所述，我可以负责的告诉你，现行《社会保险法》规定，参加社保只要满足缴费15年并达到法定退休年龄这两个关键条件，就可以办理退休，享受养老金。换句话讲，这里所规定的最低缴费15年，包括连续缴费15年和累计缴费15年，也包括视同缴费与实际缴费相加后达到的15年。这三种情况的15年都属于满足最低缴费15年的要求，只要法定年龄达到规定标准，都可以办理退休，享受养老金。
关注燎原杂谈，你会有不一样的感悟！
为什么圈起来的会短路？
两段导线,一段缠绕在铁上,一段直接圈起来。分别通电时,为什么圈起来的会短路?
两段导线,一段缠绕在铁上,一段直接圈起来。分别通电为什么圈起来的会短路?缠在铁上的不会短路?
答：这是因为缠绕在铁上的线圈有一定的导磁率，而空绕线器几乎是以空气为导磁率，它的导磁率几乎为0。当线圈缠绕在铁中就类似于变压器线圈接在交流电源上，铁芯中便产生交变磁通，交变磁通用φ表示。
下面本人就什么叫导磁率和比导磁率?什么叫磁场强度?磁场强度和磁感应强度有什么关系?
答:导磁率是衡量物质导磁性能的一个系数,以符号μ表示,单位是享/米(H / m)。真空的导磁率为4лx10??享/米,以符号μ?表示。空气的导磁率近似等于真空的导磁率。
某种物质的导磁率与真空的导磁率之比称为该物质的比导磁率,以符号μ?表示,即μ?=μ/μ?；
磁场强度也是表示磁场强弱和方向的一个物理量,以符号H表示,单位是安/米(A/ m)。在数值上,磁场强度等于磁感应强度与导磁率之比,即H =B/μ(安/米)
式中B用韦伯/米作单位,μ用享/米作单位。
?缠绕在铁芯叫低频电感,而电感的特性是对于交流电的阻力很大。为了和电阻区分开来,这个阻力叫做“感抗”,用“X”表示。实践证明,电感器的感抗与电感L的大小以及交流电的频率f成正比,即电感量越大感抗越大，频率越高,感抗也越大。电子电路中常常利用电感的 这种特性来进行滤波,分离高频和低频。
这里本人以电机、电磁铁、变压器等为什么都要用铁磁物质作为导磁更能说明问题。这是因为在铁磁物质内部,由分子电流所产生的磁场,就好象一块块小磁铁;但平时这些小磁铁排列杂乱无章,其磁性相互抵消。当绕在铁磁材料上的线圈内通过电流时,则通电线圈所产生的外磁场将使铁磁材料内部的小磁铁沿外磁场方向整齐地排列起来,从而产生了与外磁场同方向而且很强的附加磁场。所以,在同样磁势的作用下,利用铁磁物质作导磁材料所产生的磁场远比用非铁磁物质产生的磁场强。因此,电机、变压器等电器都用铁磁物质作导磁材料。
最后简叙一下感抗，感抗用式子表示如下:X?= 2лfL式中:X?感抗(欧姆);
f . .交流电频率(赫芝);
L电感量(享利)。
导体线圈在通电状态下,其周围势必产生磁场,当线圈中的电流变化时,磁场也随之变化;
处在变化磁场的的线圈将产生感应电动势。这种由于线圈中自身电流的变化而引起线,圈内产生的感应电动势称之为“自感电动势”
根据电磁感应定律,当线圈中的电流发生变化时,产生的自感电动势,企图阻止电流的变化。
其关系为:eL = 1*di/dt,可见电流的变化率越大企图阻止电流变化的自感电动势也越大。在电流为正弦波的特定情况下,可将电感对电流的阻力用上面已经介,绍过的公式表达X?= 2лfL表示。式中频率f反映电流的变化率。电流变化率越高则X?就越大即对电的阻力越大。在一定的条件下通过电感器线圈的电流就小了。
知足常乐2022.6.20日于上海
自媒体哪个平台流量高？
每个平台都有各自的优势，不过头条的推送机制非常好，任何类型的视频播放量都很稳定，但是结合自身的领域去选平台更重要！因此除了头条，B站也是一个很不错的选择！
我本人在百家，头条，B站都有发布视频，结合我自身的了解和经验分享一些看法。
百家号 背靠百度，加V以后单价很高，但是对于创作者的扶持比较少，转正之前没有收益，需要自己慢慢去摸索和研究，而且需要稳定的更新，百家号指数是从内容质量、用户喜爱、原创能力、领域专注、活跃表现这五个维度打分。你是做混剪的，二剪的这方向，一定要选对自己的领域，百家号经常会出现0推荐0播放的情况，但是分数会涨！创作者很难了解到系统的机制!
百家号转正以后，他的单价更高，可以尝试一下。但是加V和原创等各项收益的开通难度很高，需要作品有很好的阅读量，纯收益来看，比较有优势，但是个人帐号影响力比较难做，增涨粉丝量难度很高！企鹅 内容主要推送到腾讯新闻与快报和QQ浏览器，他对内容审核的比较严格，容易扣分。转正后会比较稳定，推荐量全看内容质量。相对于你的领域，坦白说，并不太适合，混剪和二剪偏向年轻化和自由化，平台这一块的喜欢二剪的受众群体推送量到底有多少，不是特别清楚。你可以搜索一下内容，看看此类视频的播放量有多少！
大鱼号 没有发布过，不是很了解，所以就不展开了。你可以去找一些创作者分享的视频看一看。
根据你想做的混剪、二剪领域，我推荐你主要做两个平台：头条和B站。
头条 我在悟空问答，这么认真的回答你，也侧面说明了我本人对头条的认可和喜爱。他有非常好的培训体系，官方针对各个领域会推出培训视频，经常也会有优秀作者来分享，可以快速上手！头条的二剪作者也不少，因为这个群体的粉丝粘性特别强，全看作品质量说话，需要一定时间的积累。同时它的推荐机制是最好的，对于一个小白创作者来说，一样会有推荐量和阅读量。包容，专业，直白！这是头条给我的印象！从作者转正要求，到内容的规则到收益，都是非常直白的、清晰的！
头条各个领域的视频收益是不一样的，我是做VLOG的，万次播放的收益单价在20-80元之间，根据视频质量和内容的稀缺程度会有不同。
现在这是在2020年4月28日的做答案补充，头条又做了一些更新，大力扶持新的创作者，老作者面临更大的考验。视频质量才是决定推送量和收益的关键，不过做视频，头条依然是所有自媒体平台的最优选择。
B站 也就是bilibili。年轻群体最多，有二次元、动漫、也有硬核财经、数码科技类。B站上的混剪大赛上出了很多优秀的作品，接纳程度高，受众群体最多！同时B站的粉丝是所有平台粘性很强的，只你的作品好，粉丝和作者的互动、交流很会频繁！B站的转正不算太难，只要有几个好作品爆了，就容易过。如果你发布的内容，观众看了以后没有关注、点赞、转发这些行为，那你的推荐会非常低。相反，如果你的作品有大量的积极反馈，视频会一直被推送，所以B站的UP主都喜欢在视频里暗示或者明示让粉丝三连！
B站的剪辑大神非常多，竞争也很激烈。我非常鼓励有专业技能、有奇妙创意想法的作者去B站发展。收益单价不算最高，但却是很有活力和前景的自媒体平台！
这两个平台互有优势，可以一起发展，同时发布内容不会冲突的！建议你前期抓准受众，建立自己的视频风格！
流量高低取决于我们视频质量，点赞收藏关注转发这些因素都会影响内容的推荐，所以归根结底还是要靠质量说话。相信只要有好作品，大家都不可能会错过，这，也就是平台的厉害之处，它总能知道大家想要什么！
我是挂白的日常，有关于vlog、自媒体的相关问题，可以关注我，也可以邀请我回答，我会用所了解的知识，认真用心的去回答。数学上的连续的概念？
（连续性在《数学分析》中是非常有影响力一个概念，它不仅本身发挥着重要作用（例如：作为函数的三大特性：连续性、可微性、可积性，之一）而且与许多其它概念都有关联（例如：极限），所以，要搞清楚它着实需要花一些力气！这里，小石头准备用 十个话题，将 连续概念的 全貌展现给大家，希望大家能喜欢！）
连续 就是 一个接一个持续不间断 之意。日常生活中 的 绳子、电源线、项链 都是 具有连续性质的事物，这些事物都是由一个个子对象组成，这些子对象排成一条线，对象之间没有间断。
数字天然可以根据大小关系排成一条线，于是数字组成的集合——数集，就有了研究联系性的必要，这就引入我们今天讨论的第一个话题：实数的连续性。
最初，人们认为：
整数集 Z 是不连续的，因为 在 0 和 1 之间，存在 1/2 将它们隔开；
有理数集 Q 是连续的，因为 Q 具有 稠密性： 在任意 两个 不同的 有理数 之间，都存在 无数个有理数；
但是，后来随着 √2 的发现，人们才知道 有理数 之间 还存在 无理数，因此 有理数集 Q 不连续，而有理数 + 无理数 组成的 实数集 R 才是真正 连续的。
同时，人们还认识到 稠密性 ≠ 连续性，我们需要重新寻找 实数的连续性的定义！早期，人们将 实数 和 直线上的 点 一一对应，而几何上，直线被定义为是连续的，因此与 直线 一一对应的 实数集 也是连续的，后来，经过漫长的岁月，数学家发现，对于某个数集 K，可以进行如下分割操作 ：
K 的所有数字依从小到大，从左到右，在我们面前排成 一条线。我们用刀去砍这条线，一刀下去，将 一条线 分为左右 A，B 两段 ，显然， A 和 B 满足条件：
左半 边 A 中的 任意 数字 都小于 右半边 B 中的任意 数字
称 满足上面 条件 的这种 分割操作，为 戴德金分割，记为 A|B。人们发现，因 K 是否连续，戴德金分割的结果有差异：
如果 K 不连续，则 这条线上存在缝隙，当 刀刚好 从某个缝隙点穿过 时，分割的结果是：A 没有 没有 最大值 并且 B 没有 最小值；
如果 K 连续，则 这条线上 不存在缝隙点，于是 刀 一定砍在 某个点 x 上，又因为点不能被分割，于是刀要么从 点 x 的左边穿过，这时 B 的最小值是 x，要么从 点 x的右边穿过，这时 A 的最大值是 x；
于是，大家就将上面的结论2 作为 数集K的连续性定义。实数集 R 符合这个定义的要求 而 有理数集 Q 不满足，我们称 实数为 连续性系统，简称，连续统。
不仅仅是直线，平面上的 曲线 也都是连续性的，而 曲线又与 实函数关联，于是，连续的概念就成为实函数的一个重要性质。那么，具体是 如何 在 实函数上定义连续性呢？这就是我们这里要展开的第二个话题。
一个实函数 f(x) 定义为 实数集 R 的子集 E 到 实数集 R 的 映射，记为, f: E → R (E ? R)。我们要搞清楚 整个 函数 f(x) 的 连续性，就要先搞清楚 函数 f(x) 在 定义域 中的 每一个 点 x? 处的连续情况。
首先，如果 x? 点 不存在，即，x? ? E，则 函数 f(x) 在 x? 点 看上去的确是不连续， 我们称 这样的 点 x? 为奇点。
但是，这种不连续 是定义域 E 的不连续引起的，它属于 第一个话题讨论的 数集E 的连续性，而非这里要讨论的 函数 f 的连续性。函数 既然是 映射，那么 其连续性应该体现为：保持连续性，即，
将定义域 E 中的 连续部分 映射为 值域 R 中 连续的像集
而 对于 E 的不连续部分，由于 根本没有机会体现 f 的连续性，同时也无法找到 不连续的 证据，所有 我们只能默认 这部分点 在 f 上 是连续的 。
接下来，我们先分析 E 中的连续部分中的点。
设 E 中 x? 附近定义域局部是连续的，如果 f 在 x? 点 是连续性，则根据 保持连续性 要求， f(x?) 附近的影像 也应该是连续性。但是，事实上，函数值 f(x?) 可以与其 右边、 左边 或 两边的 函数值 断开，
这些情况，都违反了 保持连续性，因此 这时 函数 f(x) 在 x? 就是不连续的，我们称 这样的点 x? 为 f(x) 的一个断点。而只有当 函数值 f(x?) 与其 两边的函数值 都连贯，
才能 说 函数 f(x) 在 x? 连续，我们称 这样的点 x? 为 f(x) 的一个连续点。
我们仔细观察，上面 x? 左边连续、右边断开 的情况，
就会发现：
由于左边连续，当 x 从 左边无限逼近 x?点 时， 函数值 f(x) 也会 无限逼近 f(x?)；
而 因为 右边断开，当 x 从 右边无限逼近 x?点 时，函数值 f(x) 所无限逼近的 值 A 和 f(x?) 之间 相差 断开的 间距 b ，从而不相等；
我们 称 x 从 左边、右边 或 两边 无限逼近 x?点 时， 函数值 f(x) 所无限逼近的 值 A 为 f(x) 在 x? 点的 左极限、右极限 或 极限，分别记为：
也写成：
这里 x → x? 表示： x 无限逼近 x? 点，方向没有限制；x?? 与 x?? 分别限制 只从 x? 的左边 与 右边 逼近。
则，根据上面的发现， 函数 f(x) 在 x? 点 连续，就意味着：f(x) 在 x? 点的极限 是 f(x? )，即，
这就是，函数在点 x? 处连续的第一种定义。
接着，再考虑 E 的不连续部分对于 上面定义的影响。我们用 x → x? ∈ E 来表示 在 E 内 受 E 的制约下 x 无限逼近 x?，即，只有当 E 使得 x? 左（或 右）连续时，从 左（右）边逼近 才被启用：
于是，上面的定义也相应修改为：
这样以来，E 的不连续性 被从 f(x) 的 连续性中 完全排除，f(x)的连续性 只要保证 E 中连续的部分保持连续 就好了。例如，以下 E 中的不连续点 对于 f(x) 都是连续的：
特别是 x? 这样的 孤立点，使得 既不能从 左边逼近 也 不能从 右边，于是 逼近 失去意义，它总是连续的！
最后，在 函数 f(x) 关于点x? 连续性定义基础上，我们只要再定义：
如果一个函数 f(x) 在每一个点 x? 处都是连续的，则称该函数 f(x) 是连续函数。
前面的讨论说明 极限 和 连续性 是紧密相关的，因此 我们有必要开启第三个话题 ，以通过进一步分析 极限，来 揭示 连续性 的根深层 的内容。
上面极限定义中用 箭头 表示的 “无限逼近” ，仅仅是一种直觉概念，并不是 明确的 数学定义。 这种早期的微积分漏洞，后来被数学家用 ε-δ 语言 补足。
对于 任意 极限 x → x?, f(x) → A，我们 令，
δ = |x - x?|
则 δ 表示 当前 x 逼近 x? 的逼近距离，由于 无限逼近 要求 x ≠ x?，所以 逼近距离 δ = |x - x?| > 0。
同理，可以 令，
δ' = |f(x) - A| > 0
于是，极限 x → x?, f(x) → A，可以描述为：
当 x 到 x? 的 逼近距离 δ 无限小时， f(x) 到 A 的逼近距离 δ' 也跟着无限小。
这里 δ' 的无限小，就意味着：
给定义 任意 f(x) 到 A 的逼近距离 ε 都 存在 （δ 导致下 的）逼近距离 δ' < ε。
将这句话，翻译成数学语言，就是：
对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 |x - x?| = ε 的 点 x 有 |f(x) - A| < δ
这就是 最初 极限的 ε-δ 语言定义，但 这个定义存在瑕疵，考虑下面的情况，
函数 f(x) = sin(1/x) 在逼近 x? = 0 时的值会不停在 -1 到 1 之间震荡，所以 x? = 0 应该没有 极限值才对。但是根据 上面的 定义， A = 0 却是 x? = 0 处的极限，因为：
对于任意 的 ε > 0 ，总存在 δ = 1/ π > 0，使得 满足 |x - 0| = δ 的 x = ±1/ π 有 |sin(1/x) - 0| = |sin(±π)| = 0 < ε
为了避免这种的情况发生，我们要求：
随着 δ 的减小 δ' 是递减的，即，对于 任意 逼近距离 小于 δ 的逼近点 x，都有 f(x) 到 A 的 逼近距离 小于 δ'
翻译成数学语言，就是：
对于 任意 满足 0 < |x - x?| < δ 点 x 都有 |f(x) - A| < δ'
用这个要求，修正前面的定义，最终 ε-δ 语言下 极限的定义：
如果 对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 0 < |x - x?| < δ 的点 x 都有 |f(x) - A| < ε，则 称 A 是 f(x) 在 x? 点的极限。
对于，左极限 或 右极限，我们只需要在上面定义中，加入 x < x? 或 x > x? 的条件就可以了。
与极限类似，我们也可以用 ε-δ 语言 来描述 前面的 函数的一点连续性：
给定 f(x) 上的一点 x?，如果 对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 |x - x?| < δ 的点 x 都有 |f(x) - f(x?)| < ε，则 f(x) 在 x? 点处连续。
这里允许 x = x? （区别于 极限的定义）有两方面原因：
已经规定了 x? 是 f(x) 上的点，即，x? ∈ E 存在；
为了让 孤立点 是 连续点。
到此为止，我们所讨论的 函数连续性 仅仅是对 一元函数而言的，那么多元函数的 连续性 又是什么呢？在接下来的第四个话题中，我们来讨论这个问题。
一个 m 元函数 记为 f: E → R (E ? R?)，其中，
称为 m 维欧氏（向量）空间，R1 = R 就是 实数空间。
注意：这里 变量 的上标 和 变量 的 下标 一样，表示 序号。
也就是说，多元函数 f(x) = f(x1, x2, ..., x?) 就是以 向量 x = (x1, x2, ..., x?) 为 变量的 函数。
设 x? = (x1?, x2?, ..., x??) ∈ E，并且 x? 周围的 定义域 连续性。
我们，定义 x → x? 为：
x1 → x1?, x2 → x2?, ..., x? → x??
其中 个变量 的 无限逼近 是 独立的，这保证了 向量 x 可以从任何方向 逼近 向量 x? 。
这样以来，前面 一点连续的第一个定义中极限条件，对于 多元函数，就解释为：
接着，我们在 R? 中定义 向量 x 与 x? 之间的 距离为：
| x - x?| = √[(x1 - x1?)2 + (x2 - x2?)2 + ... + (x? - x??)2]
注意：这里 () 的上标 表示指数。
这样以来，前面一元函数一点连续的 ε-δ 语言 描述 对于多元函数依然有效。
多元函数 的连续性，依然是 对 E 内部而言的，忽略 E 本身的 不连续部分。
到这里，我们的升级并没有结束。既然 向量可以作为 函数的 变量，那么 就可以 作为 函数的 值，这样的函数 称为 向量函数。
多元向量函数 f: E → R? (E ? R?)，可以认为是 n 个 m元函数 的向量，即，
f(x) = (f1(x), f2(x), ..., f?(x))
于是，前面 一点连续的第一个定义中极限条件，对于 多元函数，就解释为：
而，上面已经定义了 距离，故 一点连续的 ε-δ 语言 描述，对于 多元向量函数 也是无缝 一致。
下面，以最简单的多元向量函数——复函数 为例，来看看 上面抽象讨论的 具体面貌。
一个复函数，记为 f(z) : C → C ，其中 复平面 C 二维平面 R2 的扩展，具有 R2 的完全性质。复函数 可以写为：
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
它将 一个复平面 上的 任意 点 z? = x? + iy? 映射为 另一个复平面 上的点 f(z?) = u(x?, y?) + iv(x?, y?)，同时，将整个前一个复平面 映射为 后一个复平面的一部分。
点 z? 附近 的连续或间断情况如下：
根据，前面讨论，无限逼近 z → z? 解释为 x → x?, y → y?。
极限连续条件：
在这里的意思是：z 从任意方向 无限接近 z? 时，f(z) 都会无限接近 f(z?)， 解释为：
用 ε-δ 语言 描述为：
对于任意 实数 ε > 0，都存在 实数 δ > 0，使得 对于一切 |z - z?| < δ 的 复平面上的 点 z 都有 |f(z) - f(z?)| < ε。
其中，复数间距离定义为：
|z - z?| = √[(x - x?)2 + (y - y?)2]
前一个话题中，提到 多元函数 定义域 E 的连续性，我们 并没有深究，其实这里是有问题的，在接下来的 第五个话题中，我们来讨论这个。
首先，我们思考：一条线 上缺失点，则 这条线 一定断开，不再连续，但，一个 平面 上 缺失点，则 只能 说明 这个平面 有 破洞，不再完整，不能说明 平面 不连续，更高维度的空间也是如平面一样。因此，对于 任意维度空间 V，来说，我们用 完整的概念 来代替 连续，称为 空间 V 的完备性。可以认为，完备性 是 连续概念的 升级， 一维空间的 完备性 就是 连续性。
其实，多元函数，也已经不仅仅局限是一条曲线了，它们可能是曲面 或 超曲面，其所谓 连续性也只是表示 曲面 上没有破洞 ，即， 完整之意，但 为了 兼容性，我们依然 称之为 函数连续性。
其次，我们 第一个话题 中讨论的 数集 K 的 连续性定义，默认要求 K 中元素 是可以排除一条直线，而高维度的空间是 平面 或 超平面，根本就不是 直线，因此 这个定义无法 被 完备性 使用，我们需要 重新寻找，一种新的方法，来判定 空间中 是否有 点的缺失。
要 判定 空间 V 中 某个点 A 是否缺失，我们首先要 指向 这个点 处，前面 极限的无限逼近 是一个好的 思路，
如果 我们 可以找到： 一个 函数 f: E → V（E ? R），当 x 无限逼近 x? 时，f(x) 无限逼近 某处，则
如果 V 在 该处 没有缺失，对应 点 A，则 f(x) 在 x? 点的极限 存在，就是 A；
如果 V 在 该处缺失，则 f(x) 在 x? 点没有极限；
如果，判别 函数 f(x) 是 无限逼近 某处 呢？原来的 ε-δ 语言下的 判别标准：
对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 0 < |x - x?| < δ 的点 x 都有 |f(x) - A| < ε
显然不行，因为 我们 无法 确定 A 点 是否存在，不过我们可以对这个判别标准，进行修改：
对于 任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 0 < |x - x?| < δ 的任意两点 x = x?, x? 都有 |f(x?) - f(x?)| < ε
这个新判别标准，避免了 A 的出现，但又 可以证明 与原判别标准 等价，堪称绝妙。
至此，我们就有了 V 完备性的一个粗糙条件，
任意一个 在 x? 满足 新判别标准 函数 f(x): E → V，都在 x? 处 有极限
这个条件有些复杂，可以做进一步简化，我们 固定 x? = ∞，让 E 为 自然数集 N 并令，
a? = f(0), a? = f(1), ...., a_n = f(n), ...
这样 我们就将 函数 f(x) 转化为 序列 a?, a?, ....，函数 f(x) 在 x? 处是否极限，转化为 序列 a?, a?, .... 是否收敛。对于序列 新判别标准也更简单：
对于 任意 ε > 0，都存在 自然数 N ，使得 任意 自然数 m, n > N 都有 |a_m - a_n| < ε
称，满足这个条件的序列为基本列。于是 空间 V 完备性的 最终定义为：
如果 V 中任意基本列 都是 收敛列，则称 V 是完备的。
这个定义，仅仅要求 V 中定义有距离 |a_m - a_n|，我们前面已经定义了 欧氏空间 R? 中的 距离，因此 这个定义可以用于 判断 欧氏空间 的 子集 E 的 完备性。
空间 V 中的距离，是 V 上的 二元函数 d(x, y): V × V → R，它满足：
正定性：d(x, y) ≥ 0，d(x, x) = 0；
对称性：d(x, y) = d(y, x)；
三角不等式：d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z)；
我们称 定义有 距离函数 的空间 V 为 距离空间，记为 (V, d)。可以验证前面定义 的 距离 满足上面的条件。
空间完备性定义，对于任意一个距离空间都适用。
注意：一个空间可以定义多种距离函数，例如 R? 中也可以这样定义距离：
d(x, x?) = |x1 - x1?| + |x2 - x2?| + ... + |x? - x??|
上一个话题 引入了 距离空间 的概念，如果我们回顾，前面 多元向量函数的 ε-δ 语言所描述 的 连续性 定义，就会发现，这个定义也仅仅依赖于 距离。这说明，对于 任意距离空间 (V, d?) 到 (W, d?) 的映射 f: V → W，我们都可以定义其一点连续性为：
如果 对于任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得 满足 d?(x, x?) < δ 的点 x 都有 d?(f(x) - f(x?)) < ε，则 f(x) 在 x? 点处连续。
这样 我们就将 函数的连续性 推广为 距离空间间映射的连续性。到这里，大家不禁会问：有没有比 距离空间 更 一般的空间 呢？如果有，这个空间上映射的连续性 又是如何定义的呢？ 接下来的第六个话题，我们来讨论这个问题。
让我们回到最初，讨论 实函数 的地方！
对于 实函数 f(x) 定义域 E 中 的 任意集合 U， 定义 U 在 f 下的像 为：
f(U) = {y : ? x ∈ U，f(x) = y}
然后，再仔细观察比较，f(x) 在 x? 点，两边断开 的情况，
以及 两边连贯 的情况，
我们就会发现：
如果 x? 是 间断点，则 存在 真包括 f(x?) 的区域 V，对于 任意 真包括 x? 的 区域 U 都 无法 使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 内；
如果 x? 是 连续点，则 对于任意 真包括 f(x?) 的区域 V，都 存在 真包括 x? 的 区域 U，使得 U 的像 f(U) 包含 在 V 内，
其中，区域 U 真包括 x? ，的意思是： U 包括 x? 但不仅仅 包括 x?。
这里必须是真包括，因为，如果 允许 U 只包括 x?，即， U = {x?} ，则 f(U) = {f(x?)} 显然包含于 V，于是，上面的 发现1 就不成立了。
考虑 包含 x? 的开区间 (a, b)，因为 a < x?，根据 实数的稠密性，一定存在 x? 使得 a < x? < x?，故 (a, b) 一定不仅仅包括 x?，于是，要让 U 真包括 x?，我们只需要让 U 包括 包含 x? 的开区间 (a, b) 就可以了。我们称 包括 x? 的某个开区间 的区域 为 x? 的邻域。
对上面的发现2进行整理，我们就可以得到 实函数一点连续的第二个定义：
如果 对于任意 f(x?) 的邻域 V，都 存在 x? 的 邻域 U，使得 f(U) ? V，则 称 函数 f(x) 在 x? 点连续。
若，令 V = {y : |y - f(x?)| < ε}，U = { x : |x - x?| < δ }，则 上面的定义 其实就是 第一个定义的 ε-δ 语言 描述了。
对于多元向量函数，因为 平面，超平面 没有 区间一说，所有，我们用 开集 代替 开区间，重新定义邻域如下：
包括 x? 的某个开集 的区域 称为 x? 的邻域。
至此，这第二个定义，就可以无缝迁移到 元向量函数 上了。同样以 前面的复函数 f(z) 为例，观察比较 z? 附近 连续 和 间断的 情况，
这与前面的发现完全一致。
这个全新的一点连续定义仅仅依赖邻域的概念，而邻域又是由开集来定义，所以 任意集合 只要 在其中 指定 开集， 我们就可以得到 其上 映射连续性了。
指定了开集的 集合 X，被称为 拓扑空间，如果用 τ 表示 X 中 全体开集组成的 子集族，则 拓扑空间 记为 (X, τ)。开集 是 开区间 的拓广 概念，它需要满足如下条件：
全集 X 与 空集 ? 都是开集；
任意 多个 开集的 并 依然是开集；
任意 两个 开集 的 交 依然是开集；
我们，可以 证明 拓扑空间 是比 距离空间 更广泛的 空间。
拓扑空间之间的 映射，称为 拓扑映射，其 一点连续性，由第二个定义提供。
至此，关于 映射的一点连续性，基本上算是讨论清楚了，接下来的第七个话题，让我们来讨论一下映射整体连续性问题。
类似前面的 连续函数 概念，我们定义 映射的整体连续性，如下：
如果 映射 f 在其 定义域 中 每一点 都连续，我们称 f 是连续映射。
这个定义依赖，一点连续性！其实，对于 拓扑空间 (X, τ?) 到 (Y, τ?) 的 拓扑映射 f: X → Y，我们也可以 用开集 来直接定义 其整体连续性。
对于 映射 f 的 值域 任意 区域 V ? Y，定义 V 在 X 中的 原像 为：
f?1(V) = {x ∈ X : f(x) ∈ V}
再回到最开始，观察比较，连续实函数 与 非连续实函数，
我们发现：
对于连续函数：任何开区间（开集） A 的 原像 f?1(A) 依然是 开区间（开集）；
对于非连续函数：存在开区间（开集） A 的 原像 f?1(A) 不是 开区间（开集）。
对上面的 发现1，进行整理，我们就到如下 关于 拓扑映射整体连续性的 定义：
如果 拓扑映射 f，使得 Y 中的任意 开集 A 的原像 f?1(A) 依然是 X 的开集，
即，
? A ∈ τ? ? f?1(A) ∈ τ?
则称 f 为 连续映射。
除此之外，我们将 闭区间 推广为 闭集 ，定义如下：
开集关于全集X的补集，
然后，再根据进一步观察比较，闭集于上面的情况，
不难发现：
对于连续函数：任何闭区间（闭集） A 的 原像 f?1(A) 依然是 闭区间（闭集）；
对于非连续函数：存在闭区间（闭集） A 的 原像 f?1(A) 不是 闭区间（闭集），
这说明，我们将上面 拓扑映射整体连续的定义 中的 开集 替换为 闭集 后 依然 有效。
上面的整体连续性是基于一个一个点的，可以称为 逐点连续，下面第八个话题，我们讨论另外一种 整体连续性——一致连续。
考虑实函数 f: E → R (E ? R)，如果 对于任意 实数 ε > 0，都存在 实数 δ > 0，使得 对于一切 |x? - x?| < δ 的 x? 和 x? 都有 |f(x?) - f(x?)| < ε，我们就称 f 是一致连续的。
我们只要将 x? 替换为 x? 并固定，则 上面的定义 就是 x? 点连续的定义，然后 再放开 x?，则 上面的定义 保证了 每个 x? 处的连续性，进而，也就保证了 逐点连续，因此 一致连续的 一定是 逐点连续的。
但是反过来，逐点连续 不一定是一致连续了。考虑 前面那个 函数 f(x) = sin(1/x)，我们令
E = (0, π]，x? = 1 /(kπ) , x? = 1/(kπ + π/2)，k 是自然数，
则 有，
|x? - x?| = 1/[(2k + 1)kπ]
|f(x?) - f(x?)| = |sin(kπ) - sin(kπ + π/2)| = | 0 ± 1 | = 1
这样以来，对于 存在 实数 1 > ε > 0，对于 任意 δ > 0，由于 E 中的点 x? 和 x? 可以无限小， 于是 总是 存在 k 使得 |x? - x?| = 1/[(2k + 1)kπ] < δ ，但 |f(x?) - f(x?)| = 1 > ε。这说明 f(x) = sin(1/x) 在 E 上 不是一致连续的。
那么，什么情况下，逐点连续 一定是 一致连续 呢？
由于 f 逐点连续，则意味着 给定 任意 ε > 0， 对于 每个 x? ∈ E，都存在 δ_x? > 0 使得 满足 |x - x?| < δ_x? 的点 x 都有 |f(x) - f(x?)| < ε/2。
令，V_x? = { x ∈ E : |x - x?| < δ_x?/2}，因为 每个 x? ∈ E 都属于一个 V_x? 所以，
如果，能 从 E 中找到 有限 n 个 x?： x?1，x?2 , ..., x?? 保证：
则，令
δ = min {δ_x?1, δ_x?2, ..., δ_x?? } / 2
由于， 每个 δ_x?? > 0， 而 n 是有限的，所以 δ > 0。
注意：这里必须保证 n 有限因为，当 n 无限时，即便是 每个 δ_x?? > 0，它们的最小值依然可以 为 0，例如：
min {1, 1/2, ..., 1/n, ... } = 0
对于 任意满足 |x? - x?| < δ 的 x? 和 x?，中 必然 有 x? 属于 某个 δ_x??，满足，
|x? - x??| < δ_x??/2
根据 距离的三角不等式：
|a - b| ≤ |a - c| + | b - c|
有，
|x? - x??| ≤ |x? - x?| + |x? - x??| < δ + δ_x??/2 ≤ δ_x??
由 |x? - x??| < δ_x??/2 < δ_x?? 与 |x? - x??| < δ_x?? 分别可得到，
|f(x?) - f(x??)| < ε/2 与 |f(x?) - f(x??)| < ε/2
再次使用 三角不等式，就得到：
|f(x?) - f(x?)| ≤ |f(x?) - f(x??)| + |f(x?) - f(x??)| < ε
这样，就推导出了 一致连续。
在推导过程中，我们要求：
可以从 E 的 任何 一个开区间（开集）的覆盖（简称 开覆盖） V = {V_x? : x? ∈ E}， E ? ∪V 中找到 有限个元素的子集 W = {V_x?1, V_x?2, ..., V_x??} ? V 依然是 E 的覆盖 E ? ∪W。
我们称 满足上面要求的 集合 E 为紧致的。
数学家证明了：任意 闭区间 都是 紧致的！所以说，闭区间上的 连续函数 一定是 一致连续的。
如果 从新令 E = [π, 2π]，则 E 是一个闭区间，于是之上的 连续函数 f(x) = sin(1/x) 这会就变成 一致连续的了。前面，由于 E 中的点 x? 和 x? 已经不可以无限小了，于是前面 的反例 也就不成立了。
不知不觉，已经到第九个话题，这里我们讨论与连续概念相关的间断和连通问题。
考虑 实函数上 f 上任意一点 x? ，x? 与 右（左）边断开，有两种情况，
x? 的右（左）极限存在，但不等于 f(x?)，这种断开 称为 第一类间断；
x? 的右（左）极限根本不存在，这种断开 称为 第二类间断；
设 x? 是间断点，如果 x? 只包含第一类间断的 间断点，称 x? 为第一类间断点，否则 称 x? 为第二类间断点。
如果 第一类间断点 的 左极限 = 有极限，则称 其为 可去间断点。
单调函数如果有间断点 则其必然是第一类间断点。
前面我们用 完备性 替换连续性来 描述 空间是否有漏洞问题，如果空间的漏洞如刀痕，则这些刀痕 是有可能 将 整个空间 分割的，这就牵扯到了 空间的 连通性问题。
对于 一个拓扑空间 (X, τ) 可以有两个不同的连通：
如果 X 不能分割为 两个 不相交的开集的并集，即，
? A, B ∈τ ? A ∩ B = ? ∧ A∪ B = X
则，称 X 是连通的；
如果 X 中任意两点 x, y 都存在 从 x 到 y 的 道路，即，
? x, y ∈ X ? ? r: [0, 1] → X ? r(0) = x ∧ r(1) = y
则，称 X 是道路连通的；
拓扑空间之间的 连续映射 f: X → Y，可以保持 连通性，即，如果 X 是 连通的，则 其 在 Y 中的像 f(X) 也是 连通的。连续映射 也可以保持 道路连通性 以及前面的 紧致性。这些可以被 连续映射 保持的性质，称为 拓扑性质。
最后，在第十个话题，我们对以上讨论 进行补充与总结。
首先，小石头将以上讨论中所提到的主要概念绘制成关系图如下，方便大家理清。
其次，前面提到的 有理数（实数）的 稠密性，与 有理数 在 实数 中 稠密 是两个概念。
我们说 拓扑空间 X 的 子集 A 在 X 中稠密，是指 对于 X 中的每个点 x 都有 A 中的序列 a?, a?, ...， 收敛于 x（一般定义为： A 的闭包 ā = X）。
有理数 在 实数 中 是稠密，因为 对于 每个实数 x，
要么表示为 有限小数，例如：x = 1/2 = 0.5，则， 收敛于 x = 1/2 的序列 就是 0.5, 0.5, ...；
要么表示为 无限循环小数，例如： x = 1/3 = 0.3?，则，收敛于 x = 1/3 的序列 就是 0.3, 0.33, 0.333, ...；
要么表示为 无限不循环小数，例如： x = π = 3.14159?，则，收敛于 x = π 的序列 就是 3.1, 3.14, 3.141, ...；
其三，连续性与可导性 之间，靠极限关联。由于，f(x) 在 x? 点的导数定义为：
如果 f(x) 在 x? 处不连续，则 当 x 趋近 x? 时，|x - x?| 趋近 0 ，|f(x) - f(x?)| 不趋近 0，这导致 f’(x?) = ±∞ ，即， f(x) 在 x? 处不可导。
以上结论的逆反命题，就是：
f(x) 在 x? 处可导 则 f(x) 必然在 x? 处连续。
反之则不成立！大名鼎鼎的 Weierstrass 函数，就是处处连续处处不可导的极端例子。
其四，函数连续性 可以在 函数的代数运算 上保持，即，连续函数的 加减乘除 依然是 连续函数。微分，积分 也可以保持 函数连续性。逐点收敛的函数序列，也可以保持 函数连续性（而函数上 的可导性 与 可积性，则 要求 是一致收敛）。
函数连续性还有一些性质（包括 在 中值定理 中的 作用），这里篇幅有限无法再展开讨论了，以后有机会再说。
最后，以上讨论以理解概念为主，小石头几乎忽略了能够被省略的证明，如果大家对有些命题和定义有疑问，可以参考 《数学分析》。
同时为了，让概念更容易理解，以上讨论也 牺牲了 严谨性，有写论述可能不是那么数学。
还有，小石头讨论所选的 切入角度 和 推进方式，都是 针对 学《高等数学》的条友而设计的，如果你是学《数学分析》可能没有阅读的必要，如果你没有学过 《高等数学》可能会引起不适合，请谨慎阅读。
(小石头毕竟数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！)
发布于 2023-03-29 11:54:01